Membuat penjelasan tentang subring dalam pembelajaran matematika khususnya di bidang struktur aljabar

 Hari ke - 11

SUBRING

Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan mengenai struktur bagian dari Ring yang disebut Subring (Gelanggang Bagian), adapun definisinya adalah sebagai berikut :

Definisi 1 :

Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring, S ≠ φ adalah merupakan himpunan bagian dari R (S ⊆ R). Bila operasi yang sama dengan (S,+,.) membentuk suatu Ring maka S disebut Subring dari R.

Untuk lebih jelasnya kita harus mengetahui syarat-syarat dari Subring, yaitu sebagai berikut :

Definisi 2 :

Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring, S adalah himpunan bagian dari R yang disebut Subring dari R, bila untuk setiap a,b ∈ S, berlaku :

1.      S ≠ φ

2.      a - b ∈ S

3.      a . b ∈ S

Syarat – syaratnya antara lain yaitu:

1.      menyatakan bahwa himpunan bagian dari Ring tersebut bukan himpunan kosong (φ), syarat

2.      menyatakan bahwa (S,+) adalah merupakan suatu Grup Komutatif. Syarat

3.      menyatakan bahwa (S,.) adalah merupakan suatu Semigrup. Sehingga dapat kita katakan bahwa

Dimana syarat-syarat tersebut telah memenuhi syarat dari suatu Ring. Dikarenakan S adalah himpunan bagian dari R, S ⊆ R, maka S dapat dikatakan sebagai Subring dari R.[1]

Menurut (Rotman, 2003), S himpunan bagian dari ring komutatif R adalah subring dari R jika memenuhi :

1.      0

2.      Jika a, b maka a – b

3.      Jika a, b maka ab

Contoh :

1)      Setiap ring merupakan subring dari dirinya sendiri.

2)      Himpunan dengan merupakan subring dari .

3)  merupakan subring dari dan merupakan subring dari. Lapangan pada dasarnya adalah ring dengan beberapa sifat tambahan, yaitu komutatif terhadap operasi penjumlahan dan setiap elemennya ( kecuali nol ) mempunyai invers terhadap operasi perkalian.

Contoh 1 :

Misalkan Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukan bahwa S = {0, 2} adalah Subring dari Z4.

Penyelesaian :

Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.

1.      S ≠ φ, syarat terpenuhi karena S = {0, 2}

2.      a - b ∈ S

Misalkan 0, 2 ∈ S

2 – 0 = 2

2 – 2 = 0

0 – 2 = 2

Sehinigga 0, 2 ∈ S

3.      a . b ∈ S

Misalkan 0, 2 ∈ S

2 . 0 = 0

2 . 2 = 0

0 . 2 = 0

Sehingga 0 ∈ S

Syarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.

Kita juga bisa membuktikan S (dalam contoh 1) merupakan suatu Subring dari Ring Z4, dengan menunjukan operasi yang sama pada Z4 terhadap penjumlahan dan perkalian. Sehingga S adalah merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (S,+) dan juga merupakan Semigrup/Monoid terhadap perkalian (S,.).

 Karena (S,+,.) mememenuhi syarat-syarat dari suatu Ring, maka S = {0, 2} adalah Subring dari Ring Z4 = {0, 1, 2, 3}.

---

[1] Fadly, “Bahan Ajar Struktur Aljabar”, Modul-Sub-Ring.Pdf, Diakses Pada 03 Juni 2020, Pukul 20.00 Wib, Hal. 108.