Membuat penjelasan tentang aturan rantai dua dalam pembelajaran matematika

 Hari ke -15

ATURAN RANTAI DUA

        TEOREMA  A

Misalkan x = x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan misalkan z = f(x,y) terdeferensiasikan di (x(t),y(t)). Maka z = f(x(t(,y(t))dapat dideferensiasikan di t dengan:

Contoh

Misalkan z = x²y³ dengan x = t² + 1 dan y = t² – 1.

Maka

       = 2xy³(2t) + 3x²y²(2t)

                                   = 4t(t² + 1)(t² – 1)³ + 6t(t² + 1)²(t² – 1)²

                     = 4t(t² – 1)²(t⁴ – 1) + 6t(t⁴ – 1)²

         =2t(t⁴ – 1)(5t⁴ – 4t² – 1)

        TEOREMA  B

Misalkan x = x(t,r) dan y = y(t,r) mempunyai turunan parsial di (t,r) dan z = f(x,y) mempunyai turunan di (x(t,r),(y(t,r)), maka z = f(x(t,r),y(t,r)) mempunyaiturunan di t dengan:[1]

atau

Contoh 1

Misalkan z = x²y dengan x = r + t dan y = 1- rt.

Maka

 = 2xy(1) + x²(-t)

   = 2(r+t)(1-rt)-t(r+t)²

= 2xy(1) + x²(-r)

  = 2(r+t)(1-rt)-r(r+t)²

Contoh 2

1.      Jika z = 3x² – y², dimana x = 2r + 7t dan y = 5rt, tentukan  dan nyatakan dalam r dan t.

      Penyelesaian

   = (6x)(7) + (-2y)(5s)

      =42(2s + 7t) – 10rt(5r)

  = 84r + 294t – 50r²t

2.      Tentukan  jika z = f(x,y) = xe^ydengan x = 2r – t dan      y = 2r + t.

Penyelesaiaan:

= e^y(2) + xe^y(2)

 = 2e^y(1 + x)     

     = 2e^{2r + t}(2r – t + 1) 

  = e^y(-1) + xe^y(1)

= e^y(x – 1)

= e^{2r + t}(2s – t -1).[2]

Contoh 3

Diketahui f(x,y) = 4xy – x² + 2y²

                        x = r sin t

                        y = r cos t

                      r = 4

                      t = 

Ditanya   adalah?

Penyelesaiaan

                              

                             

                       

  =  (4y – 2x)(sin t) + (4x + 4y)(cos t)

      = (4 r cos t – 2 r sin t)(sin t) + (4 r sin t + 4 r cos t)(cos t)

      = 4 r cos t sin t – 2 r sin²t + 4 r sin t cos t + 4 r cos²t

      = 8 r (cost sin t) – 2 r sin²t + 4 r cos²t

      = 4 r sin 2t – 2 r sin²t + 4 r cos²t

      = 4(4) sin 2( ) – 2(4) sin²( ) + 4(4) cos²( )                                   

      = 16(1) – 8 sin(45)² + 16 cos(45)²

      = 16 – 8 ² + 16 ²

      = 16 – 8 ) + 16 )

      = 16 – 4 + 8

      = 20

---

[1]Nova Sabrina, ”Aturan Rantai”, https://www.academia.edu/11323976/ATURAN_RANTAI, diakses pada 28 November 2019.

[2]Reza Ashadi, “Aturan Rantai Pada Turunan”, https://www.academia.edu/34418301/Aturan_Rantai_Pada_Turunan, diakses pada 29 November 2019.